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已知 ${\displaystyle a\in \mathbb{R}}$, 函数 ${\displaystyle f(x)=\sin (ax-a)-\ln \left(\frac{x}{2-x}\right)}$.

1. 证明: 曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 是中心对称图形;
2. 当 ${\displaystyle a=0}$ 时, 函数 ${\displaystyle y=f(x)-bx}$ 为减函数, 求实数 ${\displaystyle b}$ 的最小值;
3. 当 ${\displaystyle a=\pi }$ 时, 证明: 方程 ${\displaystyle f(x)=0}$ 有三个不等实根.

1. 证明 首先 ${\displaystyle f(x)}$ 的定义域是 ${\displaystyle (0,2)}$, 关于 ${\displaystyle 1}$ 对称. 其次 $$f(1-x)+f(1+x)=\sin (-ax)+\sin (ax)-\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)-\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=0,$$ 所以 ${\displaystyle y=f(x)}$ 是关于 ${\displaystyle (1,0)}$ 中心对称的图形.
2. 解 由题意, $$f^{\prime }(x)-b=-\frac{2}{x(2-x)}-b\le 0$$ 在 ${\displaystyle (0,2)}$ 上恒成立. 而 $$-\frac{2}{x(2-x)}-b=-\frac{2}{1-(x-1{)}^2}-b\le -2-b,$$ 所以 ${\displaystyle b}$ 的最小值为 ${\displaystyle -2}$.
3. 证明 首先 ${\displaystyle f(1)=0}$; 然后因为 $$f\left(\frac{7}{6}\right)=\frac{1}{2}-\ln \frac{7}{5}>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(\frac{7}{5}-\frac{5}{7})=\frac{1}{2}-\frac{12}{35}>0,$$ 以及 ${\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right)=1-\ln 3<0}$, ^[1]得 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (\frac{7}{6},\frac{3}{2})}$ 上存在一零点 ${\displaystyle x_0}$, 再由 1 的中心对称性, 得到另一个零点 ${\displaystyle 2-x_0}$. 到这里证明已经完毕, 因为题目只需要我们证明存在性. ^[2]