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在正三棱台 ${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$ 中, ${\displaystyle AB=2\sqrt{3}}$, ${\displaystyle A_1{B}_1=4\sqrt{3}}$, 且该三棱台的高是 ${\displaystyle 2\sqrt{3}}$. 若以 ${\displaystyle C}$ 为球心, ${\displaystyle 4}$ 为半径作一个球, 则该球与底面 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{A}_1{B}_1{C}_1}$ 的交线长是_____.

这个球在底面 ${\displaystyle A_1{B}_1{C}_1}$ 上的交线是一个圆, 半径是 ${\displaystyle \sqrt{4^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=2}$. 下面确定它在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{A}_1{B}_1{C}_1}$ 内的部分. 我们画一个俯视图: 设 ${\displaystyle O_1}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{A}_1{B}_1{C}_1}$ 的外心, 则 ${\displaystyle C}$ 在 ${\displaystyle O_1{C}_1}$ 的中点上. 这样, 交线应该是 ${\displaystyle 1/3}$ 个圆周长, 也即 ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$.