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已知四棱锥 ${\displaystyle P-ABCD}$ 的体积为 ${\displaystyle 12}$, 四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 是平行四边形, ${\displaystyle Q}$ 为 ${\displaystyle PA}$ 的中点, 经过直线 ${\displaystyle CQ}$ 的平面与侧棱 ${\displaystyle PB,PD}$ 分别交于点 ${\displaystyle M,N}$. 设 ${\displaystyle \overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PB}}$, ${\displaystyle \overrightarrow{PN}=\mu \overrightarrow{PD}}$, 则

• A. ${\displaystyle \lambda =\mu }$ 时, ${\displaystyle AB//}$ 平面 ${\displaystyle CMN}$
• B. ${\displaystyle \lambda =\frac{1}{2}}$ 时, ${\displaystyle \mu =1}$
• C. 四面体 ${\displaystyle PQBC}$ 的体积为 ${\displaystyle 3}$
• D. 四棱锥 ${\displaystyle P-MCNQ}$ 的体积的最小值为 ${\displaystyle 4}$

• A 当 ${\displaystyle \lambda =\mu \ne 1}$ 时, ${\displaystyle AB//CD}$, 但 ${\displaystyle CD}$ 是平面 ${\displaystyle CMN}$ 的异面直线, 所以 A 错误.
• B 当 ${\displaystyle \lambda =\frac{1}{2}}$, 则 ${\displaystyle QM//AB//CD}$, 说明 ${\displaystyle Q,M,C,D}$ 在一个平面上; 而 ${\displaystyle Q,C,M,N}$ 也在一个平面上, 所以 ${\displaystyle D=N}$, 也即 ${\displaystyle \mu =1}$, B 正确.
• C 直接倒一下就有 $$V_{Q-PBC}=\frac{1}{2}{V}_{A-PBC}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABC}=\frac{1}{4}{V}_{P-ABCD}=3.$$
• D 首先看一下体积的表示: $$V_{P-MCNQ}=V_{P-MCQ}+V_{P-NCQ}=\frac{1}{2}\lambda V_{P-ABC}+\frac{1}{2}\mu V_{P-ACD}=3(\lambda +\mu ).$$ 然后找 ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ 的关系. 因为四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 是平行四边形, 所以 $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{PC}=-2\overrightarrow{PQ}+\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{PM}+\frac{1}{\mu }\overrightarrow{PD}.$$ 根据空间向量的共面定理, $$-2+\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=1\ge -2+\frac{(1+1{)}^2}{\lambda +\mu },$$ 这样 ${\displaystyle V\ge 3\times \frac{4}{3}=4}$. 所以 D 正确.

这样答案就是 BCD.

设 ${\displaystyle O}$ 为空间的任意一点, ${\displaystyle A,B,C}$ 不共线. 若 ${\displaystyle P,A,B,C}$ 四点共面, 且 ${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}+\nu \overrightarrow{OC}}$, 则 ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu =1}$.