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如图，两射线 ${\displaystyle l_1,l_2}$ 均与直线 ${\displaystyle l}$ 垂直，垂足分别为 ${\displaystyle D,E}$ 且 ${\displaystyle DE=1}$. 点 ${\displaystyle A}$ 在直线 ${\displaystyle l}$ 上，点 ${\displaystyle B,C}$ 分别在射线 ${\displaystyle l_1,l_2}$ 上.

1. 若 ${\displaystyle F}$ 为线段 ${\displaystyle BC}$ 的中点，求 ${\displaystyle \overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{AD}}$ 的最小值;
2. ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 为等边三角形，求 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 面积的取值范围.

1. 取 ${\displaystyle DE}$ 中点 ${\displaystyle M}$，则要使 ${\displaystyle \overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{AD}}$ 最小，它至少要是负值，也即 ${\displaystyle A}$ 在线段 ${\displaystyle DM}$ 上. 这样 $$\begin{array}{r}\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AD}=-AM\cdot AD\ge -\frac{(AM+AD{)}^2}{4}=-\frac{D{M}^2}{4}=-\frac{1}{16},\end{array}$$ 取等时 ${\displaystyle A}$ 为 ${\displaystyle DM}$ 中点.
2. 不妨设 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle M}$ 下方. 这样，记 ${\displaystyle \overrightarrow{CB}}$ 与射线 ${\displaystyle l_2}$ 所夹的角为 ${\displaystyle \theta \in {\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}}$. 而要使 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle l}$ 上，则 $$\begin{array}{r}\theta =\pi -\mathrm{\angle }ECA-\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }AC{l}_2-\frac{\pi }{2}\ge \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6},\end{array}$$ 从而 ${\displaystyle \theta \in {\displaystyle [\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]}}$. 而 ${\displaystyle BC={\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}}$, 这样 $$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}B{C}^2=\frac{\sqrt{3}}{4{\sin }^2\theta }\in [\frac{\sqrt{3}}{4},\sqrt{3}].\end{array}$$