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在平面四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 中，${\displaystyle AB=AD=3\sqrt{2},BC=CD=3,BC\perp CD}$, 将 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABD}$ 沿 ${\displaystyle BD}$ 折起，使点 ${\displaystyle A}$ 到达点 ${\displaystyle A^{\prime }}$, 且 ${\displaystyle A^{\prime }C=3\sqrt{3}}$, 则四面体 ${\displaystyle A^{\prime }-BCD}$ 的外接球 ${\displaystyle O}$ 的体积为_____; 若点 ${\displaystyle E}$ 在线段 ${\displaystyle BD}$ 上，且 ${\displaystyle BD=4BE}$, 过点 ${\displaystyle E}$ 作球 ${\displaystyle O}$ 的截面，则所得的截面圆中面积最小的圆的半径为_____.

四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 由等腰直角三角形 ${\displaystyle BCD}$ (${\displaystyle C}$ 为直角)和正三角形 ${\displaystyle ABD}$ 组成. 在四面体中取 ${\displaystyle BD}$ 中点 ${\displaystyle O^{\prime }}$，它是 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }BCD}$ 的外心，故 ${\displaystyle O{O}^{\prime }\perp }$ 平面 ${\displaystyle BCD}$. 因此在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }C{O}^{\prime }}$ 中，外接球球心 ${\displaystyle O}$ 是 ${\displaystyle C{O}^{\prime }}$ 垂线和 ${\displaystyle A^{\prime }C}$ 中垂线的交点，且 ${\displaystyle {\displaystyle C{O}^{\prime }=\frac{3\sqrt{2}}{2},A^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{3\sqrt{6}}{2}}}$, 条件又给到 ${\displaystyle A^{\prime }C=3\sqrt{3}}$.

为求外接球 ${\displaystyle O}$ 的半径，可以参考右图，补全直角三角形 ${\displaystyle A^{\prime }CH}$, 则 $$\begin{array}{r}{A}^{\prime }{H}^2=A^{\prime }{O}^{\prime 2}-O^{\prime }{H}^2=A^{\prime }{C}^2-(C{O}^{\prime }+O^{\prime }H{)}^2\Rightarrow O^{\prime }H=\frac{3\sqrt{2}}{2}=C{O}^{\prime },\end{array}$$
进而 $$\begin{array}{r}{A}^{\prime }H=3=\sqrt{R^2-C{O}^{\prime 2}}+\sqrt{R^2-O^{\prime }{H}^2}\Rightarrow R=\frac{3\sqrt{3}}{2},\end{array}$$
进而外接球 ${\displaystyle O}$ 的体积为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{27\sqrt{3}\pi }{2}}}$.

对第二问，设这个截面圆的圆心到 ${\displaystyle O}$ 的距离为 ${\displaystyle d}$. 则 $$d\le EO=\sqrt{E{O}^{\prime 2}+O{O}^{\prime 2}}=\frac{3\sqrt{6}}{4},$$ (因为可以注意到 ${\displaystyle BD\perp }$ 平面 ${\displaystyle A^{\prime }C{O}^{\prime }}$)
从而截面圆的半径 ${\displaystyle r\ge \sqrt{R^2-d^2}={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{4}}}$.