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若 $a, b, c$ 满足 $a = \log_{3} 4 + \log_{5} 4, b = \log_{2} (4 - b), c = 2^{4 - c}$ ，已知 $2^{8} > 3^{5}, 4^{10} < 5^{9}$ , 则

A. $b + c > 2 a$
B. $b c < a^{2}$
C. $2^{c} - \log_{2} b > 2 a$
D. $b \log_{2} c + c \log_{2} b < a^{2}$

解

记 $f (x) = x - \log_{2} (4 - x)$ ，则它单增，且 $f (b) = f (4 - c) = 0$ ,故 $b + c = 4$ .而 $f (\frac{3}{2}) = \log_{2} \frac{4 \sqrt{2}}{5} > 0, f (1) = 1 - \log_{2} 3 < 0$ ，故 $1 < b < \frac{3}{2}$ .
另一方面，根据提示有 $\begin{array}{r} {\begin{aligned} 4^{4} > 3^{8}, \\ 4^{10} < 5^{9}, \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} \log_{3} 4 > \frac{5}{4}, \\ \log_{4} 5 > \frac{10}{9} . \end{aligned} \end{array}$

A 因为 $\begin{array}{r} a > \frac{5}{4} + \log_{5} 4 > \frac{10}{9} + \log_{5} 4 > \log_{4} 5 + \log_{5} 4 > 2, \end{array}$
故 $b + c = 4 < 2 a$ , A错误.
B 由基本不等式得 $b c \leq 4 = 4 < a^{2}$ , B正确.
C $2^{c} - \log_{2} b = 2^{4 - b} - \log_{2} b$ 关于 $b$ 单减，故左边大于 $2^{\frac{5}{2}} - \log_{2} \frac{3}{2} = 4 \sqrt{2} + 1 - \log_{2} 3 > 6.6 - \log_{2} 3$ .而根据刚才提示的结果，右边小于 $2 \log_{3} 4 + 2 \cdot \frac{10}{9} = 4 \log_{3} 2 + 1.8$ .这样只需要说明 $4.8 > 4 \log_{3} 2 + \log_{2} 3$ .右侧是一个对勾函数，容易知道 $2 > \log_{2} 3 > \frac{3}{2}$ ，因此 $4 \log_{3} 2 + \log_{2} 3 \leq max {4, \frac{25}{6}} < 4.8,$ 从而C正确.
D 由对数和不等式 $\begin{array}{r} b \log_{2} c + c \log_{2} b = - b \log_{2} \frac{1}{c} - c \log_{2} \frac{1}{b} < - (b + c) \log_{2} \frac{1 + 1}{b + c} = 4 < a^{2}, \end{array}$ 故D正确.

因此答案是BCD.

对数和不等式是一个实用的不等式: 任给 $a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n} > 0$ ，有 $\begin{array}{r} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \ln \frac{a_{i}}{b_{i}} \geq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) \ln \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} b_{i}} . \end{array}$