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已知函数 ${\displaystyle {\displaystyle f(x)=|\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}-a|}}$, 存在实数 ${\displaystyle x_1,x_2,\cdots ,x_n}$ 使得 ${\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_{n-1})=f(x_n)}$ 成立，若正整数 ${\displaystyle n}$ 的最大值为 ${\displaystyle 6}$, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

注意到 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}\in (-1,1)}}$, 由对称性, 不妨设 ${\displaystyle a\ge 0}$. 这样，${\displaystyle f(x)}$ 的值域在 ${\displaystyle 0\le a\le 1}$ 时是 ${\displaystyle [0,1+a)}$, 在 ${\displaystyle a>1}$ 时为 ${\displaystyle (a-1,a+1)}$. 注意到 ${\displaystyle x_1,\cdots ,x_n}$ 间没有约束关系，这样等式成立当且仅当两侧的取值范围有交集.
当${\displaystyle 0\le a\le 1}$, 这等价于$$\begin{array}{r}[0,(n-1)(a+1))\cap [0,a+1)\ne \varnothing .\end{array}$$
但是这对于任意${\displaystyle n}$都成立(因为总有公共元${\displaystyle 0}$)，因此舍去; 当${\displaystyle a>1}$, 这等价于$$\begin{array}{rl}& (5(a-1),5(a+1))\cap (a-1,a+1)\ne \varnothing ⟺a<\frac{3}{2},\\ & ((n-1)(a-1),(n-1)(a+1))\cap (a-1,a+1)=\varnothing ,\mathrm{\forall }n>6⟺a\ge \frac{7}{5},\end{array}$$
从而结合${\displaystyle a<0}$的对称部分，可知${\displaystyle a\in {\displaystyle (-\frac{3}{2},-\frac{7}{5}]\cup [\frac{7}{5},\frac{3}{2})}}$.