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设 ${\displaystyle a\in \mathbb{R}}$, 函数 ${\displaystyle {\displaystyle f(x)={\sin }^{2}x-\cos x-a,x\in (\frac{\pi }{2},\pi )}}$.

1. 讨论函数 ${\displaystyle f(x)}$ 的零点个数;
2. 若函数 ${\displaystyle f(x)}$ 有两个零点 ${\displaystyle x_1,x_2}$, 试证明: ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{1-\tan x_1\tan x_2}\le \tan x_1\tan x_2-3}}$.

1. 解 ${\displaystyle f(x)=0⟺{\cos }^{2}x+\cos x+(a-1)=0}$. 由于 ${\displaystyle \cos x}$ 关于 ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (\frac{\pi }{2},\pi )}}$ 上单减，故问题等价于 ${\displaystyle t^2+t+a-1={\displaystyle {(t+\frac{1}{2})}^2+a-\frac{5}{4}=0}}$ 在 ${\displaystyle t\in [-1,0]}$ 上的零点个数. 容易知道，在 ${\displaystyle a\le 1}$ 或 ${\displaystyle {\displaystyle a>\frac{5}{4}}}$ 时有 ${\displaystyle 0}$ 个零点，在 ${\displaystyle a={\displaystyle \frac{5}{4}}}$ 时有 ${\displaystyle 1}$ 个零点，在 ${\displaystyle {\displaystyle 1<a<\frac{5}{4}}}$ 时有 ${\displaystyle 2}$ 个零点.

2. 证明 由题意，${\displaystyle {\cos }^2{x}_i+\cos x_i+(a-1)=0,i=1,2}$.因此 ${\displaystyle \cos x_1,\cos x_2}$ 是关于 ${\displaystyle x}$ 的方程 ${\displaystyle x^2+x+(a-1)=0}$ 的两个解.由韦达定理，$$\begin{array}{r}\cos x_1+\cos x_2=-1.\end{array}$$

   首先证明：${\displaystyle \tan x_1\tan x_2>1}$.事实上如果 ${\displaystyle x_1,x_2\in {\displaystyle (\frac{\pi }{2},\pi )}}$,则 $$\begin{array}{rl}& \tan x_1\tan x_2>1\\ \Leftarrow & \sin x_1\sin x_2>\cos x_1\cos x_2\\ \Leftarrow & (1-{\cos }^2{x}_1)(1-{\cos }^2{x}_2)>{\cos }^2{x}_1{\cos }^2{x}_2\\ \Leftarrow & 1-{\cos }^2{x}_1-{\cos }^2{x}_2=1-(\cos x_1+\cos x_2{)}^2+2\cos x_1\cos x_2=2\cos x_1\cos x_2>0,\end{array}$$

   因此，记 ${\displaystyle \tan x_1\tan x_2=t>1}$，有 $$\begin{array}{r}\frac{1}{1-t}-(t-3)=\frac{(t-2{)}^2}{1-t}\le 0,\end{array}$$ 从而原不等式得证.