904

甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局. 每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛. 约定先赢两局者获胜, 比赛随即结束. 已知每局比赛甲胜乙的概率为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}$, 甲胜丙的概率为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}$, 乙胜丙的概率为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}}$.

1. 若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率;
2. 判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大.

1. 显然，甲必须在四轮内取得胜利. 为防止第一轮的胜者在第二轮继续胜利，甲必须在第二轮胜；第三轮如果甲败，则甲没有资格参加第四轮，这将导致比赛结束. 综上，甲必须取得二三两轮的胜利. 即 $$\begin{array}{r}{P}_1=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}.\end{array}$$
2. 如果首发甲乙对战，依据四轮取得胜利和输的下一轮无法参赛这两个原则，可知只有甲连胜、[甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙]、[乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙]，对应的概率为 $$\begin{array}{r}{P}_2=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{13}{48}.\end{array}$$
   对称地写出首发甲丙对战的情况：甲连胜、[甲胜丙，乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙]、[丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，甲胜丙]，甲获胜的概率 $$\begin{array}{r}{P}_3=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3})+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{17}{72}.\end{array}$$
   比对可知 ${\displaystyle P_2>P_3>P_1}$，故应该让甲乙首发对战.