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为丰富课余生活，某班组织了五子棋大赛. 下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的 ${\displaystyle 200}$ 场比赛的胜负与先后手列联表 (不记平局，单位: 场). 最后甲乙两人晋级决赛，决赛规则如下: 五局三胜，没有平局，其中第一句先后手等可能，之后每局交换先后手. 已知甲先手胜乙的概率为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3}}}$, 后手胜乙的概率为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}$.

先后手	胜	负	合计
先手	${\displaystyle 60}$	${\displaystyle 40}$	${\displaystyle 100}$
后手	${\displaystyle 40}$	${\displaystyle 60}$	${\displaystyle 100}$
合计	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 200}$

1. 依据 ${\displaystyle \alpha =0.01}$ 的独立性检验，能否认为五子棋先后手与胜负有关联?
2. 在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率.

附: ${\displaystyle k^2={\displaystyle \frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}}$.

${\displaystyle \mathbb{P}(k^2\ge k_0)}$	${\displaystyle 0.050}$	${\displaystyle 0.010}$	${\displaystyle 0.001}$
${\displaystyle k_0}$	${\displaystyle 3.841}$	${\displaystyle 6.635}$	${\displaystyle 10.828}$

1. 零假设 ${\displaystyle H_0}$: 五子棋先后手与胜负无关联. 由表格数据和参考公式得$$\begin{array}{r}{k}^2=\frac{100({60}^2-{40}^2{)}^2}{{100}^4}=8>6.635,\end{array}$$
   从而依据 ${\displaystyle \alpha =0.01}$ 的独立性检验可推断 ${\displaystyle H_0}$ 不成立，即先后手与胜负有关联.

2. 记甲第一局失败为事件 ${\displaystyle A}$, 甲最终成功为事件 ${\displaystyle B}$. 则甲第一局失败的概率为 ${\displaystyle P(A)={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}}}$.

   要让甲第一局失败且取得最终胜利，总局数只能为 ${\displaystyle 4}$ 或 ${\displaystyle 5}$. 各局的胜者的情形，只有[乙甲甲甲]，[乙乙甲甲甲]，[乙甲乙甲甲]，[乙甲甲乙甲]. 依据第一 局谁先手进行讨论，可以暴力列出 $$\begin{array}{rl}P(AB)=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3})\\ & +\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3})\\ =& \frac{4}{27}.\end{array}$$
   从而$$\begin{array}{r}P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{8}{27}.\end{array}$$