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"探究几何的奥秘永远是人类经久不衰的话题". 从一维到二维、三维几何，不同维度的几何探究蕴含着不同的韵味.

1. 长方形 ${\displaystyle ABCD}$ 中，${\displaystyle AC,BD}$ 交于点 ${\displaystyle O}$. ${\displaystyle E}$ 为 ${\displaystyle AB}$ 中点，${\displaystyle F}$ 为 ${\displaystyle OC}$ 中点，${\displaystyle EF}$ 交 ${\displaystyle BD}$ 于点 ${\displaystyle G}$, 若 ${\displaystyle AB=4,BC=3}$:

   1. 求直线 ${\displaystyle DB}$ 与直线 ${\displaystyle EF}$ 夹角的余弦值;
   2. 求 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }OGF}$ 的面积.

   (请在 1.1, 1.2 中任选一道题作为 1 的解答)

2. 在四棱锥 ${\displaystyle O_1-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ 中，${\displaystyle A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ 为矩形，${\displaystyle A_1{B}_1=4,B_1{C}_1=3}$, ${\displaystyle O_1}$ 在平面 ${\displaystyle A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ 的投影点 ${\displaystyle O^{\prime }}$ 为矩形 ${\displaystyle A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ 的中心点，${\displaystyle O_1{O}^{\prime }=4}$, ${\displaystyle E_1}$ 为 ${\displaystyle A_1{B}_1}$ 的中点，${\displaystyle F_1}$ 为棱 ${\displaystyle O_1{C}_1}$ 的中点，${\displaystyle E_1{F}_1}$ 与平面 ${\displaystyle O_1{B}_1{O}^{\prime }}$ 交于 ${\displaystyle G}$ 点.

   1. 是否能在线段 ${\displaystyle O_1{C}_1}$ (不包含端点) 上找到点 ${\displaystyle P}$, 使得 ${\displaystyle A_{1}P\perp }$ 平面 ${\displaystyle O_1{B}_1{O}^{\prime }}$. 若存在，请算出 ${\displaystyle O_1{F}_1}$ 的长度；若不存在，请说明理由.
   2. 求三棱锥 ${\displaystyle O_1-F_1{G}_1{O}^{\prime }}$ 的体积.

1. 1. 由题意 $$\begin{array}{r}\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD},\end{array}$$
      因此 ${\displaystyle {\displaystyle |\overrightarrow{EF}|=\frac{\sqrt{97}}{4},|\overrightarrow{DB}|=5,\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{DB}=-\frac{11}{4}}}$,
      故 ${\displaystyle EF,BD}$ 的夹角余弦为$$\begin{array}{r}|\cos ⟨\overrightarrow{EF},\overrightarrow{DB}⟩|=\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\overrightarrow{DB}|}=\frac{11\sqrt{97}}{485}.\end{array}$$
   2. 由梅涅劳斯定理$$\begin{array}{r}\frac{AO}{OF}\cdot \frac{FG}{GE}\cdot \frac{EB}{BA}=1\Rightarrow FG=GE.\end{array}$$
      则$$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }OGF}=\frac{1}{2}{S}_{\mathrm{\Delta }OEF}=\frac{1}{8}{S}_{\mathrm{\Delta }AEC}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=\frac{3}{8}.\end{array}$$
2. 1. 如果这样的 ${\displaystyle P}$ 存在使得 ${\displaystyle A_{1}P\perp }$ 平面 ${\displaystyle O_1{B}_1{O}^{\prime }}$，则由 ${\displaystyle O_1{O}^{\prime }\subset }$ 平面 ${\displaystyle O_1{B}_1{O}^{\prime }}$, 得 ${\displaystyle A_{1}P\perp O_1{O}^{\prime }}$. 另一方面 ${\displaystyle O_1{O}^{\prime }\perp }$ 平面 ${\displaystyle A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$, ${\displaystyle A_1{C}_1\subset }$ 平面 ${\displaystyle A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$, 故 ${\displaystyle O_1{O}^{\prime }\perp A_1{C}_1}$. 在平面 ${\displaystyle O_1{A}_1{C}_1}$ 中，这说明了 ${\displaystyle A_{1}P//A_1{C}_1\Rightarrow P=C_1}$, 与题设 ${\displaystyle P}$ 不在 ${\displaystyle C_1}$ 矛盾，因此 ${\displaystyle P}$ 不存在.
   2. 我们熟知，四面体中的一点沿着一条对棱平行移动，不会改变四面体的体积. 而本题中取 ${\displaystyle O^{\prime }{C}_1}$ 中点 ${\displaystyle F^{\prime }}$, 和 ${\displaystyle E_1{F}^{\prime },D_1{B}_1}$ 交点 ${\displaystyle G^{\prime }}$, 可以证明 ${\displaystyle O_1{O}^{\prime }//G_1{G}^{\prime }//F_1{F}^{\prime }}$. 因此$$\begin{array}{r}{V}_{O_1-F_1{G}_1{O}^{\prime }}=V_{O_1-O^{\prime }{G}^{\prime }{F}^{\prime }}=\frac{1}{3}{O}_1{O}^{\prime }\cdot S_{\mathrm{\Delta }{O}^{\prime }{G}^{\prime }{F}^{\prime }}=\frac{1}{2},\end{array}$$
      这里利用了 1.2 的结论.