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已知函数 ${\displaystyle f(x)=(x-a{)}^2{\mathrm{e}}^x}$.

1. 讨论 ${\displaystyle f(x)}$ 的单调性;
2. 设 ${\displaystyle x_1,x_2}$ 分别为 ${\displaystyle f(x)}$ 的极大值点和极小值点，记 ${\displaystyle A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))}$.
   1. 证明: 直线 ${\displaystyle AB}$ 与曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 交于另一点 ${\displaystyle C}$;
   2. 在 1.1 的条件下，判断是否存在常数 ${\displaystyle t\in (n,n+1)(n\in {\mathbb{Z}}^{\ast })}$, 使得 ${\displaystyle |AB|=t|BC|}$. 若存在，求 ${\displaystyle t}$; 若不存在，说明理由.

1. 求导得 ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(x-a)(x-a+2)}$, 有零点 ${\displaystyle a,a-2}$. 列表得

   ${\displaystyle x}$	${\displaystyle (-\mathrm{\infty },a-2)}$	${\displaystyle a-2}$	${\displaystyle (a-2,a)}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle (a,+\mathrm{\infty })}$
   ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +}$
   ${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle \nearrow }$	极大	${\displaystyle \searrow }$	极小	${\displaystyle \nearrow }$

   故 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (a-2,a)}$ 上减，${\displaystyle (-\mathrm{\infty },a-2),(a,+\mathrm{\infty })}$ 上增.

2. 1. 由 1 可得 ${\displaystyle A(a-2,4{\mathrm{e}}^{a-2}),B(a,0)}$. 因此直接写出直线 ${\displaystyle AB:y=-2{\mathrm{e}}^{a-2}(x-a)}$. 与 ${\displaystyle y=f(x)}$ 联立，消去 ${\displaystyle y}$ 后整理得 $$\begin{array}{r}(x-a)[{\mathrm{e}}^{x-a+2}(x-a)+2]=0,\end{array}$$
      上式自然有解 ${\displaystyle x=a,x=a-2}$. 令 ${\displaystyle x-a=t,g(t)={\mathrm{e}}^{t+2}t+2}$, 则 ${\displaystyle g^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{t+2}(t+1)}$, 故 ${\displaystyle g(t)}$ 有唯一极小值 ${\displaystyle g(-1)=2-\mathrm{e}}$. 而 ${\displaystyle g(0)=2>0}$, 因此 ${\displaystyle g(x)}$ 除了 ${\displaystyle -2}$ 外在 ${\displaystyle (-1,0)}$ 上唯一存在另一零点 ${\displaystyle t_0}$，也即 ${\displaystyle x_C=a+t_0}$.
      事实上我们可以进一步约束 ${\displaystyle t_0}$ 的范围. 注意到 $$\begin{array}{rl}& g(-\frac{1}{2})=2-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}}=-\frac{9}{40}{\int }_0^{1}x(1-x)(4-3x^2){\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}x}\mathrm{d}x<0,\\ & g(-\frac{2}{5})=2-\frac{2}{5}{\mathrm{e}}^{\frac{8}{5}}=\frac{16}{375}{\int }_0^{1}x(1-x)(5-12x+8x^2){\mathrm{e}}^{\frac{8}{5}x}\mathrm{d}x>0,\end{array}$$
      故 ${\displaystyle {\displaystyle -\frac{1}{2}<t_0<-\frac{2}{5}}}$.
   2. 由于 ${\displaystyle A,B,C}$ 都在直线 ${\displaystyle AB}$ 上，因此 $$|AB|=t|BC|⟺|x_A-x_B|=t|x_B-x_C|\Rightarrow 2=t(-t_0).$$ 从而结合 1.1: ${\displaystyle {\displaystyle t=\frac{2}{-t_0}\in (4,5)}}$, 也即 ${\displaystyle n=4}$.