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在四面体 ${\displaystyle ABCD}$ 中，${\displaystyle AB\perp BC,BC\perp CD,AB=CD=\sqrt{3},AD=\sqrt{6}}$, 则四面体 ${\displaystyle ABCD}$ 体积的最大值为_____.

以 ${\displaystyle B}$ 为原点建立空间直角坐标系 ${\displaystyle B-xyz}$，其中 ${\displaystyle BA,BC}$ 分部为 ${\displaystyle x,y}$ 正半轴方向. 则 ${\displaystyle A(\sqrt{3},0,0),C(0,t,0)}$, ${\displaystyle D(\sqrt{3}\cos \theta ,t,\sqrt{3}\sin \theta )}$, 其中 ${\displaystyle t>0}$. 则$$\begin{array}{r}AD=\sqrt{3(1-\cos \theta {)}^2+t^2+3{\sin }^2\theta }=\sqrt{6}\Rightarrow t=\sqrt{6\cos \theta }.\end{array}$$
从而四面体 ${\displaystyle ABCD}$ 的体积为 $$\begin{array}{r}V=\frac{1}{3}{S}_{\mathrm{\Delta }ABC}|y_D|=\frac{1}{2}t|\sin \theta |=\frac{1}{2}\sqrt{6\cos \theta (1-{\cos }^2\theta )}\le \frac{1}{2}\sqrt{6\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}}=3^{-\frac{1}{4}},\end{array}$$
其中 ${\displaystyle \cos \theta (1-{\cos }^2\theta )\le {\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}}$ 由求导易得.