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若椭圆 ${\displaystyle C_1}$ 和 ${\displaystyle C_2}$ 的方程分别为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}}$ 和 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\lambda (a>b>0,\lambda >0\text{且}\lambda \ne 1)}}$，则称 ${\displaystyle C_1}$ 和 ${\displaystyle C_2}$ 为相似椭圆. 已知椭圆 ${\displaystyle C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,C_2:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=\lambda (0<\lambda <1)}}$, 过 ${\displaystyle C_2}$ 上任意一点 ${\displaystyle P}$ 作直线交 ${\displaystyle C_1}$ 于 ${\displaystyle M,N}$ 两点，且 ${\displaystyle \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\mathbf{0}}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }MON}$ 的面积最大时，求 ${\displaystyle \lambda }$ 的值.

我们直接考虑一般的 ${\displaystyle a,b}$. 一方面采用与 915 相同的无脑面积估计得$$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }MON}\le \frac{1}{2}ab.\end{array}$$
另一方面让 ${\displaystyle P}$ 位于 ${\displaystyle (a\sqrt{\lambda },0)}$，则自然 ${\displaystyle MN\perp x}$ 轴且过 ${\displaystyle P}$. 设 ${\displaystyle M(x_0,y_0),x_0,y_0>0}$，则$$\begin{array}{r}1=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\ge 2\frac{x_0{y}_0}{ab}\Rightarrow x_0{y}_0=S_{\mathrm{\Delta }MON}\le \frac{1}{2}ab,\end{array}$$
可知在这个 ${\displaystyle P}$ 下要使 ${\displaystyle S_{\mathrm{\Delta }MON}}$ 最大，上述不等式要取等，即 ${\displaystyle x_M={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}a}}$. 从而 ${\displaystyle x_M={\displaystyle x_P\Rightarrow \lambda =\frac{1}{2}}}$.