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设 ${\displaystyle c>b>a>0}$, 集合 ${\displaystyle A=\{a,b,c\}}$, 集合 ${\displaystyle B={\displaystyle \{xy+\frac{y}{x}|x\ne y,x,y\in A\}}}$, 若 ${\displaystyle B}$ 中恰有 ${\displaystyle 4}$ 个元素，请尝试求出集合 ${\displaystyle B}$ 中的最小元素或最大元素.

简记 ${\displaystyle (x,y)=x{\displaystyle (y+\frac{1}{y})}}$.
我们将${\displaystyle 6}$个可能的元素在左上图中表示，并用箭头${\displaystyle x\to y}$代表${\displaystyle x>y}$.图中的大小关系都是显然的.这样${\displaystyle B}$的最大元是${\displaystyle max\{(c,b),(c,a)\}}$,最小元是${\displaystyle min\{(a,b),(a,c)\}}$.

如果 ${\displaystyle (a,c)<(a,b)}$，则 ${\displaystyle bc<1}$，则 ${\displaystyle a<b<1\Rightarrow (c,b)<(c,a)}$.在右上图中，黄色条带确定了 ${\displaystyle B}$ 的 ${\displaystyle 4}$ 个元素，从大到小记为 ${\displaystyle B_1,\cdots ,B_4}$.这样 ${\displaystyle B_1>(b,a)>B_3}$，故 ${\displaystyle (b,a)=B_2}$，同理 ${\displaystyle (b,c)=B_3}$，消去 ${\displaystyle a}$ 得 ${\displaystyle a^2=c^2}$，不成立！因此最小元只能是 ${\displaystyle {\displaystyle ab+\frac{a}{b}}}$.

如果 ${\displaystyle bc=1}$，则 ${\displaystyle c>1>b>a}$，则依然有 ${\displaystyle (c,b)<(c,a)}$.如左下图，${\displaystyle {\displaystyle c(a+\frac{1}{a})}}$ 是最大元，此时只能有 ${\displaystyle (b,a)=(c,b)}$，经验证它成立.

如果 ${\displaystyle bc>1}$，则如右下图，最大元是 ${\displaystyle {\displaystyle c(b+\frac{1}{b})}}$，可以令 ${\displaystyle ab=1,(b,a)=(a,c)}$.