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已知函数 ${\displaystyle f(x)=x^3+a{x}^2+bx+2}$.

1. 当 ${\displaystyle a=0,b=-3}$ 时，若互不相等的实数 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ 满足 ${\displaystyle f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)}$, 其中 ${\displaystyle x_1<x_2<0<x_3}$, 求 ${\displaystyle x_1+2x_2+3x_3}$ 的取值范围;
2. 若函数 ${\displaystyle f(x)}$ 的图像上有动点 ${\displaystyle A,B}$, 在点 ${\displaystyle A,B}$ 处作函数 ${\displaystyle f(x)}$ 图像两条不重合的切线. 点 ${\displaystyle A}$ 处的切线恰好经过 ${\displaystyle B}$ 点. 设函数 ${\displaystyle f(x)}$ 的图像在点 ${\displaystyle A,B}$ 处切线的斜率分别为 ${\displaystyle p,q}$. 问: 是否存在实数 ${\displaystyle k}$, 使 ${\displaystyle q=kp}$ 恒成立. 若存在，求出实数 ${\displaystyle k}$ 的值. 若不存在，请说明理由;
3. 当 ${\displaystyle a>0}$ 且 ${\displaystyle b=-a^2}$ 时，如果对于一切 ${\displaystyle r,s,t\in [0,1]}$，总存在以 ${\displaystyle f(r),f(s),f(t)}$ 为三边长的三角形，求实数 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

1. 当 ${\displaystyle f(x)=x^3-3x+2,f^{\prime }(x)=3(x^2-1)}$，因此 ${\displaystyle f(x)}$ 有极小值点 ${\displaystyle (1,0)}$，极大值点 ${\displaystyle (-1,4)}$.容易看出若 ${\displaystyle f(x_i)=t,i=1,2,3}$ 满足题意,则有 ${\displaystyle 2<t<4}$.对 ${\displaystyle f(x)-t=0}$，由韦达定理有 ${\displaystyle x_1+x_2+x_3=0}$.这样，${\displaystyle 4>f(x_1)=t>2}$ 解得 ${\displaystyle x_1\in (-\sqrt{3},-1)}$.
   由 ${\displaystyle f(x_1)=f(x_3)=t}$，得 $$\begin{array}{r}0=(x_3-x_1)(x_3^2+x_1{x}_3+x_1^2-3)\Rightarrow x_3=\frac{-x_1+\sqrt{12-3x_1^2}}{2},\end{array}$$
   从而 ${\displaystyle x_3-x_1={\displaystyle \frac{\sqrt{12-3x_1^2}-3x_1}{2}}}$,而 ${\displaystyle x\in (-\sqrt{3},-1)}$ 时 $$\begin{array}{r}{\left(\frac{\sqrt{12-3x^2}-3x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{3}{2}(\sqrt{\frac{x^2}{12-3x^2}}-1)<0,\end{array}$$
   故 ${\displaystyle x_3-x_1}$ 关于 ${\displaystyle x_1}$ 单减. 故 $$\begin{array}{r}{x}_1+2x_2+3x_3=2(x_1+x_2+x_3)+(x_3-x_1)=x_3-x_1\in (3,2\sqrt{3}).\end{array}$$

2. ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle A(x_0,f(x_0))}$ 处的切线为 ${\displaystyle l_A:y=(3x_0^2+2a{x}_0+b)(x-x_0)+(x_0^3+a{x}_0^2+b{x}_0+2)}$,与 ${\displaystyle y=f(x)}$ 联立得$$\begin{array}{r}0=(x-x_0{)}^2(x+a+2x_0).\end{array}$$
   因此当${\displaystyle x_0\ne -a-2x_0}$即${\displaystyle x_0\ne {\displaystyle -\frac{a}{3}}}$时${\displaystyle x_B=-a-2x_0}$.因此$$\begin{array}{rl}& p=f^{\prime }(x_0)=3x_0^2+2a{x}_0+b,\\ & q=f^{\prime }(-a-2x_0)=12x_0^2+8a{x}_0+b+a^2.\end{array}$$
   要使 ${\displaystyle \mathrm{\forall }{x}_0\ne {\displaystyle -\frac{a}{3}}}$ 下 ${\displaystyle p,q}$ 成比例，要求 ${\displaystyle 4b=b+a^2\Rightarrow a^2=3b}$.

   综上，当 ${\displaystyle a^2=3b}$ 时 ${\displaystyle k}$ 存在且为 ${\displaystyle 4}$，否则 ${\displaystyle k}$ 不存在.

3. 代入条件：${\displaystyle f(x)=x^3+a{x}^2-a^{2}x+2}$.记 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [0,1]}$ 上的最大值、最小值为 ${\displaystyle M,m}$，则首先明确条件等价于 ${\displaystyle M<2m}$，因为此时总能保证$$\begin{array}{r}f(r)+f(s)\ge 2m>M\ge f(t).\end{array}$$

   • ${\displaystyle a\ge 3}$ 时 ${\displaystyle f(1)=3+a-a^2\le 0}$,不能作为三角形的边长!
   • ${\displaystyle 0<a<3}$ 时 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=(3x-a)(x+a)}$，故 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x=-{\displaystyle \frac{a}{3}}}$ 处有唯一极小值点，因此 ${\displaystyle m{\displaystyle =f\left(\frac{a}{3}\right),M=max\{f(0),f(1)\}}}$.则 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& 2f\left(\frac{a}{3}\right)>f(0)\Rightarrow a<\frac{3}{\sqrt[3]{5}}.\\ & 2f\left(\frac{a}{3}\right)>f(1)\Rightarrow \frac{10a^3}{27}-a^2+a-1=g(a)<0.\end{array}\end{array}$$
     而${\displaystyle {\displaystyle g^{\prime }(x)=\frac{10}{9}{x}^2-2x+1=\frac{1}{9}{x}^2+(x-1{)}^2>0}}$,且$$\begin{array}{r}g\left(\frac{3}{\sqrt[3]{5}}\right)=1+\frac{3}{\sqrt[3]{5}}-\frac{9}{\sqrt[3]{25}}<3-\frac{9}{\sqrt[3]{25}}<0,\end{array}$$
     故 ${\displaystyle {\displaystyle a<\frac{3}{\sqrt[3]{5}}}}$ 时确实能满足 ${\displaystyle g(a)<0}$.

   综上，${\displaystyle a{\displaystyle \in (0,\frac{3}{\sqrt[3]{5}})}}$.