934

"布朗运动"是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束. 已知该粒子初始位置在 1 号仓，则试验结束时该粒子是从 1 号仓到达容器外的概率为_____.
Pasted image 20260124125611.png|200

解

设移动 $n$ 步后，粒子在1, 2, 3号仓的概率分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ , 则 $a_{0} = 1, a_{1} = b_{0} = c_{0} = c_{1} = 0, b_{1} = \frac{1}{3}, c_{2} = a_{2} = \frac{1}{9}$ , 且容易看出递推关系 $\begin{array}{r} {\begin{aligned} a_{n + 1} = \frac{1}{3} b_{n}, \\ b_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{2} c_{n}, \\ c_{n + 1} = \frac{1}{3} b_{n}, \end{aligned} n \in N^{*} . \end{array}$
先消去 $c_{n}$ 再消去 $b_{n}$ , 有 $\begin{array}{r} b_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{6} b_{n - 1} \Rightarrow 3 a_{n + 2} = \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{2} a_{n}, \end{array}$
这样 $\begin{array}{r} a_{n} = {\begin{aligned} 1, n = 0, \\ 0, n 为奇数, \\ \frac{1}{9} \cdot {(\frac{5}{18})}^{\frac{n}{2} - 1}, n 为偶数 . \end{aligned} \end{array}$
进而所求的概率为 $\begin{array}{r} P = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2}{3} \cdot a_{n} = \frac{2}{3} (1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{9} \cdot {(\frac{5}{18})}^{k - 1}) = \frac{10}{13} . \end{array}$