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已知函数 ${\displaystyle f(x)=a{\mathrm{e}}^x-\sin x-a}$. (注: ${\displaystyle \mathrm{e}=2.718281\cdots }$ 是自然对数的底数).

1. 当 ${\displaystyle a=3}$ 时，求曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在点 ${\displaystyle (0,f(0))}$ 处的切线方程;
2. 当 ${\displaystyle a>0}$ 时，函数 ${\displaystyle f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle {\displaystyle (0,\frac{\pi }{2})}}$ 内有唯一的极值点 ${\displaystyle x_1}$.
   1. 求实数 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
   2. 求证: ${\displaystyle f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle (0,\pi )}$ 内有唯一的零点 ${\displaystyle x_0}$, 且 ${\displaystyle x_0<2x_1}$.

1. 解 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=a{\mathrm{e}}^x-\cos x}$. 当 ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle f^{\prime }(0)=2}$, 进而所求切线方程为 ${\displaystyle y=2x}$.
2. 1. 解 由题意，${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (0,\frac{\pi }{2})}}$ 上有唯一零点 ${\displaystyle x_1}$, 且在 ${\displaystyle x_1}$ 两侧异号. 由于 ${\displaystyle a>0,f^{″}(x)=a{\mathrm{e}}^x+\sin x>0}$, 故 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (0,\frac{\pi }{2})}}$ 上单增. 又 ${\displaystyle f^{\prime }{\displaystyle \left(\frac{\pi }{2}\right)=a{\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}}>0}}$, 故 ${\displaystyle f^{\prime }(0)=a-1<0\Rightarrow 0<a<1}$.
   2. 证明 ${\displaystyle x\in {\displaystyle (\frac{\pi }{2},\pi )}}$ 时，${\displaystyle -\cos x>0}$, 故 ${\displaystyle f^{\prime }(x)>0}$. 这样，${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,x_1)}$ 上减，在 ${\displaystyle (x_1,\pi )}$ 上增. 又 ${\displaystyle f(x_1)<f(0)=0,f(\pi )=a({\mathrm{e}}^{\pi }-1)>0}$, 故 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (x_1,\pi )}$ 上存在唯一零点 ${\displaystyle x_0}$, 它也是 ${\displaystyle (0,\pi )}$ 的唯一零点. 这样，要证 ${\displaystyle x_0<2x_1}$, 只要证 ${\displaystyle f(x_0)=0<f(2x_1)}$. 消去 ${\displaystyle a}$ 得$$\begin{array}{r}f(2x_1)=a{\mathrm{e}}^{2x_1}-\sin 2x_1-a=\cos x_1({\mathrm{e}}^{x_1}-{\mathrm{e}}^{-x_1}-2\sin x_1).\end{array}$$
      记${\displaystyle g(x)={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}-2\sin x,x\in (0,\pi )}$. 由于${\displaystyle g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}-2\cos x\ge 2-2\cos x\ge 0}$, 故${\displaystyle g(x)>g(0)=0}$, 从而${\displaystyle f(2x_1)>0}$, 故${\displaystyle 2x_1>x_0}$, 证毕.