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已知三棱锥 ${\displaystyle O-ABC}$, ${\displaystyle P}$ 是面 ${\displaystyle ABC}$ 内任意一点，数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 共 9 项，${\displaystyle a_1=1,a_1+a_9=2a_5}$, 且满足 $$\overrightarrow{OP}=(a_n-a_{n-1}{)}^2\overrightarrow{OA}-3a_n\overrightarrow{OB}+3(a_{n-1}+1)\overrightarrow{OC}(2\le n\le 9,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }),$$满足上述条件的数列共有_____个.

首先由三维的鸡爪定理：$$\begin{array}{r}(a_n-a_{n-1}{)}^2-3a_n+3(a_{n-1}+1)=1\Rightarrow (a_n-a_{n-1}-1)(a_n-a_{n-1}-2)=0,\end{array}$$
故 ${\displaystyle a_n-a_{n-1}=1}$ 或 ${\displaystyle 2}$. 根据对称性，需要承认给定 ${\displaystyle a_5}$ 时 ${\displaystyle a_2,a_3,a_4}$ 和 ${\displaystyle a_6,a_7,a_8}$ 的情形数一致. 而 ${\displaystyle a_5}$ 可取值为 ${\displaystyle 5,6,7,8,9}$, 容易知道此时 ${\displaystyle a_2,a_3,a_4}$ 的取值个数分别为 ${\displaystyle 1,C_4^1,C_4^2,C_4^3,1}$，因此总的 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的取值个数为$$\begin{array}{r}\sum _{i=0}^4(C_4^i{)}^2=70.\end{array}$$