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能被 ${\displaystyle 3}$ 个半径为 ${\displaystyle 1}$ 的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是 ${\displaystyle \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}$.

只需考虑对称的情形，即三个圆心构成等边三角形. 如图，设 ${\displaystyle O_1{O}_3=d}$, 则 ${\displaystyle AB={\displaystyle \sqrt{O_1{A}^2-O_1{B}^2}=\sqrt{1-\frac{d^2}{4}}}}$, 因此能被这三个圆覆盖的圆 ${\displaystyle O}$ 的半径为$$\begin{array}{r}R=OA=\sqrt{1-\frac{d^2}{4}}+\frac{d}{2\sqrt{3}}\le \sqrt{(1-\frac{d^2}{4}+\frac{d^2}{4})(1+\frac{4}{12})}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.\end{array}$$
(使用了柯西不等式)