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已知双曲线 ${\displaystyle E}$ 的渐近线方程为 ${\displaystyle y=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}x}}$, 左顶点为 ${\displaystyle A(-\sqrt{3},0)}$.

1. 求双曲线 ${\displaystyle E}$ 的方程;
2. 直线 ${\displaystyle l:x=t}$ 交 ${\displaystyle x}$ 轴于点 ${\displaystyle D}$, 过 ${\displaystyle D}$ 点的直线交双曲线 ${\displaystyle E}$ 于 ${\displaystyle B,C}$, 直线 ${\displaystyle AB,AC}$ 分别交 ${\displaystyle l}$ 于 ${\displaystyle G,H}$, 若 ${\displaystyle O,A,G,H}$ 均在圆 ${\displaystyle P}$ 上，
   1. 求 ${\displaystyle D}$ 的横坐标;
   2. 求圆 ${\displaystyle P}$ 面积的最小值.

1. 由题意，${\displaystyle E:{\displaystyle \frac{x^2}{3}-y^2=1}}$.
2. 1. 设 ${\displaystyle l_{BC}:x=ky+t}$, 与 ${\displaystyle E}$ 联立得 $$\begin{array}{r}(k^2-3)y^2+2kty+t^2-3=0\Rightarrow y_B+y_C=-\frac{2kt}{k^2-3},y_B{y}_C=\frac{t^2-3}{k^2-3}.\end{array}$$
      而我们又容易求出${\displaystyle AB}$与${\displaystyle l}$交于${\displaystyle G{\displaystyle (t,\frac{y_B(t+\sqrt{3})}{x_B+\sqrt{3}})}}$, 同理${\displaystyle H{\displaystyle (t,\frac{y_C(t+\sqrt{3})}{x_C+\sqrt{3}})}}$. 现在，由于${\displaystyle O,A,G,H}$共圆，由割线定理得${\displaystyle DG\cdot DH=DO\cdot DA}$, 即$$\begin{array}{rl}\frac{y_B{y}_C(t+\sqrt{3}{)}^2}{(k{y}_B+t+\sqrt{3})(k{y}_C+t+\sqrt{3})}=& t(t+\sqrt{3})\\ ⟺\frac{y_B{y}_C(t+\sqrt{3})}{k^2{y}_B{y}_C+k(t+\sqrt{3})(y_B+y_C)+(t+\sqrt{3}{)}^2}=& t\\ ⟺\frac{t^2-3}{k^2[(t-\sqrt{3})+(t+\sqrt{3})-2t]-3(t+\sqrt{3})}=\frac{t-\sqrt{3}}{-3}=& t,\end{array}$$
      从而 ${\displaystyle t={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}}$.
   2. 容易知道$$\begin{array}{r}{X}_P=\frac{x_A+x_D}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2},Y_P=\frac{y_G+y_H}{2}=\ge \sqrt{y_G{y}_H}=\sqrt{DO\cdot DA}=\sqrt{t(t+\sqrt{3})},\end{array}$$
      则$$\begin{array}{r}P{O}^2=x_P^2+y_P^2\ge \frac{3}{4}+\frac{15}{16}=\frac{27}{16}\Rightarrow S_P\ge \frac{27\pi }{16}.\end{array}$$