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在平面直角坐标系 ${\displaystyle xOy}$ 中，定义 ${\displaystyle d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|}$ 为 ${\displaystyle A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)}$ 两点间的"曼哈顿距离". 已知椭圆 ${\displaystyle C:{\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1}}$, 点 ${\displaystyle P,Q,R}$ 在椭圆 ${\displaystyle C}$ 上，${\displaystyle PQ\perp x}$ 轴，点 ${\displaystyle M,N}$ 满足 ${\displaystyle \overrightarrow{RM}=\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PN}=2\overrightarrow{NQ}}$. 若直线 ${\displaystyle MQ}$ 与 ${\displaystyle NR}$ 的交点在 ${\displaystyle x}$ 轴上，则 ${\displaystyle d(R,Q)}$ 的最大值为_____.

设 ${\displaystyle MQ,NR}$ 交于点 ${\displaystyle T}$. 延长 ${\displaystyle RT}$ 交 ${\displaystyle RQ}$ 于 ${\displaystyle S}$. 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }PQR}$ 中，由塞瓦定理:$$\begin{array}{r}\frac{PN}{NQ}\cdot \frac{QS}{SR}\cdot \frac{RM}{MP}=1\Rightarrow RS=2SQ.\end{array}$$
从而${\displaystyle NS//PR}$，故由相似关系${\displaystyle {\displaystyle \frac{NT}{TR}=\frac{NS}{PR}=\frac{1}{3}}}$. 由鸡爪定理，$$\begin{array}{r}\overrightarrow{PT}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PR}+\frac{3}{4}\overrightarrow{PN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PR}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}.\end{array}$$
由于${\displaystyle T}$在${\displaystyle x}$轴上，故${\displaystyle y_T=0}$.取垂直分量:$$\begin{array}{r}-y_P=\frac{1}{4}(y_R-y_P)+\frac{1}{2}(-2y_P)\Rightarrow y_P=y_R.\end{array}$$
因此${\displaystyle R,Q}$关于原点${\displaystyle O}$对称. 设${\displaystyle R(\sqrt{2}\cos \theta ,\sin \theta )}$, 则$$\begin{array}{r}d(R,Q)=2\sqrt{2}|\cos \theta |+2|\sin \theta |\le 2\sqrt{3}.\end{array}$$