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约数，又称因数. 它的定义如下: 若整数 $a$ 除以整数 $m (m \neq 0)$ 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称 $a$ 为 $m$ 的倍数, 称 $m$ 为 $a$ 的约数. 设正整数 $a$ 共有 $k$ 个正约数，记为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k - 1}, a_{k} (a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k})$ .

当 $k = 4$ 时，若正整数 $a$ 的 $k$ 个正约数构成等比数列，请写出一个 $a$ 的值;
当 $k \geq 4$ 时，若 $a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, \dots, a_{k} - a_{k - 1}$ 构成等比数列，求证: $a = a_{2}^{k - 1} (k \geq 4)$ ;
记 $A = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{k - 1} a_{k}$ , 求证: $A < a^{2}$ .

解答

首先说明几个显而易见的事实： $a_{1} = 1$ , $a_{k} = a$ , $a_{2} a_{k - 1} = \dots = a_{i} a_{k + 1 - i} = a$ , $\forall 1 \leq i \leq k$ .

解 $a$ 可以取 $8$ , 因为 $8$ 的 $4$ 个正约数 $1, 2, 4, 8$ 构成等比数列.
证明设该数列公比为 $q$ , 则 $\begin{array}{r} q^{k - 2} = \frac{a_{k} - a_{k - 1}}{a_{2} - 1} = \frac{a - \frac{a}{a_{2}}}{a_{2} - 1} = \frac{a}{a_{2}} = a_{k - 1} . \end{array}$
因此 $a = a_{2} q^{k - 2}$ . 而 $a$ 一定有因数 $a_{2} q^{k - 3}$ , 但它不会大于 $a_{k - 1}$ , 因此 $\begin{array}{r} a_{2} q^{k - 3} \leq q^{k - 2} \Rightarrow a_{2} \leq q . \end{array}$
如果 $q > a_{2}$ , 则 $a_{3} = a_{2}^{2}$ 或 $q$ . 代入 $a_{3} - a_{2} = q (a_{2} - 1)$ . 对于 $a_{3} = a_{2}^{2}$ , 代入后有 $\begin{array}{r} a_{2}^{2} - a_{2} = q (a_{2} - 1) \Rightarrow a_{2} = q . \end{array}$
对于 $a_{3} = q$ , 代入后有 $\begin{array}{r} q - a_{2} = q (a_{2} - 1) \Rightarrow - a_{2} < 0 \leq q (a_{2} - 2) = - a_{2}, \end{array}$
矛盾，故只有 $a_{2} = q, a = a_{2}^{k - 1}$ .
证明注意到 $\begin{aligned} A = & \sum_{i = 1}^{k - 1} a_{i} a_{i + 1} = \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{a^{2}}{a_{k + 1 - i} a_{k - i}} = \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{a^{2}}{a_{i} a_{i + 1}} \\ = & a^{2} \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{1}{a_{i + 1} - a_{i}} (\frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{i + 1}}) \leq a^{2} \sum_{i = 1}^{k - 1} (\frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{i + 1}}) = a^{2} (1 - \frac{1}{a}) < a^{2} . \end{aligned}$