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如图，有一张较大的矩形纸片 ${\displaystyle ABCD}$, ${\displaystyle O,O_1}$ 分别为 ${\displaystyle AB,CD}$ 的中点，点 ${\displaystyle P}$ 在 ${\displaystyle O{O}_1}$ 上，${\displaystyle |OP|=2}$. 将矩形按图示方式折叠，使直线 ${\displaystyle AB}$ (被折起的部分) 过 ${\displaystyle P}$ 点. 记 ${\displaystyle AB}$ 上与 ${\displaystyle P}$ 点重合的点为 ${\displaystyle M}$, 折痕为 ${\displaystyle l}$. 过点 ${\displaystyle M}$ 再折一条与 ${\displaystyle BC}$ 平行的折痕 ${\displaystyle m}$, 并与折痕 ${\displaystyle l}$ 交于点 ${\displaystyle Q}$, 按上述方法多次折叠，${\displaystyle Q}$ 点的轨迹形成曲线 ${\displaystyle E}$. 曲线 ${\displaystyle E}$ 在 ${\displaystyle Q}$ 点处的切线与 ${\displaystyle AB}$ 交于点 ${\displaystyle N}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }PQN}$ 的面积的最小值为_____.

${\displaystyle Q}$ 到直线 ${\displaystyle AB}$ 与到 ${\displaystyle P}$ 点的距离相等，这意味着它的轨迹 ${\displaystyle E}$ 是抛物线. 如图，以 ${\displaystyle OP}$ 中点为原点建系，则 ${\displaystyle E:x^2=4y}$. 设 ${\displaystyle Q(x_0,y_0)}$, 由图得 ${\displaystyle x_0<0}$. 则 ${\displaystyle E}$ 在 ${\displaystyle Q}$ 处的切线方程为 ${\displaystyle x{x}_0=2(y+y_0)}$, 则 ${\displaystyle N{\displaystyle (\frac{2(y_0-1)}{x_0},-1)}}$. 因此 ${\displaystyle \overrightarrow{PQ}={\displaystyle (x_0,y_0-1)}}$, ${\displaystyle \overrightarrow{PN}=(\frac{2(y_0-1)}{x_0},-2)}$, $$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }PQN}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PN}|=|\frac{(y_0-1{)}^2}{x_0}+x_0|=|\frac{x_0^3}{16}+\frac{x_0}{2}+\frac{1}{x_0}|.\end{array}$$
记${\displaystyle f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{16}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x},x<0}}$, 则${\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{16}{x}^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}=\frac{(3x^2-4)(x^2+4)}{x^2}}}$, 因此取${\displaystyle x_0={\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{3}}}$, 有$$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }PQ{N}_{min}}=\left|f(-\frac{2\sqrt{3}}{3})\right|=\frac{8\sqrt{3}}{9}.\end{array}$$