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若函数 ${\displaystyle f(x)=(a{x}^2-4x+3a+4)\sin {\displaystyle (a\pi x-\frac{3\pi }{4})}}$ (其中 ${\displaystyle a>0}$) 在区间 ${\displaystyle [0,5]}$ 上恰有 ${\displaystyle 4}$ 个零点，则 ${\displaystyle a}$ 的取值范围为_____.

记 ${\displaystyle g(x)=a{x}^2-4x+3a+4,h(x)=\sin {\displaystyle (a\pi x-\frac{3\pi }{4})}}$. 则 ${\displaystyle f}$ 的零点全部来自于 ${\displaystyle g,h}$ 的零点. 首先写出 ${\displaystyle h}$ 可能的候选零点 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{4a},\frac{7}{4a},\frac{11}{4a},\frac{15}{4a},\frac{19}{4a}}}$. 以及写出 ${\displaystyle g}$ 的判别式$$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }=16-4a(3a+4)=-4(a+2)(3a-2),\end{array}$$
从而对${\displaystyle a}$进行讨论.

• ${\displaystyle a>{\displaystyle \frac{2}{3}}}$, 则 ${\displaystyle g}$ 无零点，故 ${\displaystyle h}$ 要在 ${\displaystyle [0,5]}$ 上有4个零点，即${\displaystyle {\displaystyle \frac{15}{4a}\le 5<\frac{19}{4a}\Rightarrow \frac{3}{4}\le a<\frac{19}{20}.}}$
• ${\displaystyle a={\displaystyle \frac{2}{3}}}$, 此时 ${\displaystyle g}$ 有零点 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{a}=3\in [0,5]}}$, ${\displaystyle h}$ 有零点 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{4a},\frac{7}{4a},\frac{11}{4a}\in [0,5]}}$, 满足题意.
• ${\displaystyle 0<a<{\displaystyle \frac{2}{3}}}$, 则 ${\displaystyle g}$ 有两个大于 ${\displaystyle 0}$ 的零点(记为 ${\displaystyle x_1,x_2(0<x_1<x_2)}$). 我们需要讨论它们是否在 ${\displaystyle [0,5]}$ 上，以及是否会和 ${\displaystyle h}$ 的零点重合. 假设 ${\displaystyle t_i={\displaystyle \frac{3+4i}{4a}(i=0,1,2,3)}}$ 与 ${\displaystyle g}$ 的零点重合，则 ${\displaystyle g(t_i)=0}$, 即 $$\begin{array}{r}48a^2+64a+(3+4i)(3+4i-16)=0\Rightarrow a=\frac{\sqrt{64-3(3+4i)(4i-13)}-8}{12},\end{array}$$
  依次代入${\displaystyle i}$, 得${\displaystyle a}$的取值为${\displaystyle {\displaystyle a_0=\frac{\sqrt{181}-8}{12},a_1=\frac{\sqrt{253}-8}{12},a_2=\frac{\sqrt{229}-8}{12},a_3=\frac{\sqrt{109}-8}{12}}}$.
  注意到 ${\displaystyle g^{\prime }(5)=10a-4>0}$,说明 ${\displaystyle (5,0)}$ 在 ${\displaystyle g}$ 对称轴右侧，故 ${\displaystyle x_1<5}$. 因此只需讨论 ${\displaystyle g(5)=28a-16}$ 和 ${\displaystyle 0}$ 的大小关系.
  • ${\displaystyle a{\displaystyle <\frac{4}{7}}}$, 则 ${\displaystyle x_2>5}$, 故 ${\displaystyle h}$ 有至少3个零点; ${\displaystyle h}$ 不会有4个零点，不然划归为情形1，${\displaystyle a}$ 无解. 因此 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{11}{4a}\le 5<\frac{15}{4a}\Rightarrow \frac{11}{20}\le a<\frac{4}{7}}}$.
    容易验证${\displaystyle a_0}$至${\displaystyle a_3}$均不在这个区间里，也即没有重合点的情况.
  • ${\displaystyle a\ge {\displaystyle \frac{4}{7}}}$, 则 ${\displaystyle x_2\le 5}$, 故 ${\displaystyle h}$ 在没有重合零点的情况下有 ${\displaystyle 2}$ 个零点，在有重合零点的情况下有 ${\displaystyle 3}$ 个零点，前者导出 ${\displaystyle {\displaystyle a<\frac{11}{20}<\frac{4}{7}}}$, 舍去; 后者导出 ${\displaystyle a=a_i}$, 且 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{11}{20}\le a<\frac{3}{4}}}$. 逐一验证 ${\displaystyle a_i}$, 发现只有 ${\displaystyle a_1,a_2}$ 满足要求.

综上所述，${\displaystyle a\in {\displaystyle [\frac{11}{20},\frac{4}{7})\cup [\frac{3}{4},\frac{19}{20})\cup \{\frac{\sqrt{229}-8}{12},\frac{\sqrt{253}-8}{12},\frac{2}{3}\}}}$.