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设函数 ${\displaystyle f(x)=x^3-x}$, 若任意正实数 ${\displaystyle a,b}$ 满足 ${\displaystyle f(a)+f(b)=-2b}$, 有 ${\displaystyle a^2+\mu b^2\le 1}$, 求实数 ${\displaystyle \mu }$ 的最大值.

由题意有 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a^3+b^3}{a-b}=1}}$, 这也蕴含了 ${\displaystyle a>b>0}$. 从而$$\begin{array}{r}\mu \le \frac{1-a^2}{b^2}=\frac{{\displaystyle \frac{a^3+b^3}{a-b}}-a^2}{b^2}=\frac{b^2+a^2}{b(a-b)}.\end{array}$$
而$$\begin{array}{r}\frac{b^2+a^2}{b(a-b)}=\frac{b^2+(a-b+b{)}^2}{b(a-b)}=\frac{2b^2+(a-b{)}^2+2b(a-b)}{b(a-b)}\ge 2\sqrt{2}+2,\end{array}$$
因此 ${\displaystyle {\mu }_{max}=2\sqrt{2}+2}$.