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设函数 ${\displaystyle f(x)=x+{\mathrm{e}}^x,g(x)=x+\ln x}$, 若存在 ${\displaystyle x_1,x_2}$，使得 ${\displaystyle f(x_1)=g(x_2)}$, 求 ${\displaystyle |x_1-x_2|}$ 的最小值.

由题意，$$\begin{array}{r}{x}_1+{\mathrm{e}}^{x_2}=x_2+\ln x_2=\ln x_2+{\mathrm{e}}^{\ln x_2},\end{array}$$
而 ${\displaystyle x+{\mathrm{e}}^x}$ 在 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$ 上单增，故 ${\displaystyle x_1=\ln x_2}$, 从而$$\begin{array}{r}|x_1-x_2|=x_2-\ln x_2\ge x_2-(x_2-1)=1.\end{array}$$
等号当且仅当 ${\displaystyle (x_1,x_2)=(0,1)}$.