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已知 ${\displaystyle P}$ 为抛物线 ${\displaystyle y^2=2x}$ 上的一动点，过 ${\displaystyle P}$ 作圆 ${\displaystyle (x-2{)}^2+y^2={\displaystyle \frac{3}{4}}}$ 的切线，切点分别为 ${\displaystyle A,B}$, 求 ${\displaystyle \mathrm{\angle }APB}$ 的最大值.

记圆心为 ${\displaystyle C(2,0)}$.当 ${\displaystyle \mathrm{\angle }APB}$ 最大，则 ${\displaystyle PC}$ 最小. 记 ${\displaystyle P(x,y)}$, 则$$\begin{array}{r}P{C}^2=(x-2{)}^2+y^2=(x-1{)}^2+3\ge 3.\end{array}$$
故${\displaystyle P{C}_{min}=\sqrt{3}}$, 又${\displaystyle CA={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}$, 故${\displaystyle \mathrm{\angle }CPA={30}^{\circ },\mathrm{\angle }AP{B}_{max}={60}^{\circ }}$.