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已知函数 ${\displaystyle f(x)=\sin x+\ln (1+x)-ax,a\in \mathbb{R}}$.

1. 当 ${\displaystyle a=0}$ 时, 求 ${\displaystyle f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle (-1,2\pi )}$ 内极值点的个数;
2. 若 ${\displaystyle f(x)\le 0}$ 恒成立，求 ${\displaystyle a}$ 的值;
3. 求证: ${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=n+1}^{2n}\sin \left(\frac{1}{i-1}\right)<2\ln \frac{2n-1}{n-1}-\ln 2,n\ge 2,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}}$.

1. 解 即考虑 ${\displaystyle {\displaystyle f^{\prime }(x)=\cos x+\frac{1}{1+x}}}$ 在 ${\displaystyle (-1,2\pi )}$ 内有多少个两侧函数值变号的零点. ${\displaystyle f^{″}(x)={\displaystyle -\sin x-\frac{1}{(1+x{)}^2},f^{‴}(x)=-\cos x+\frac{2}{(1+x{)}^3}}}$.

   • 当 ${\displaystyle x\in {\displaystyle (-1,\frac{\pi }{2}]\cup [\frac{3\pi }{2},2\pi )}}$ 时，显然 ${\displaystyle f^{\prime }(x)>0}$;
   • 当 ${\displaystyle x\in {\displaystyle (\frac{\pi }{2},\pi ]}}$ 时，显然 ${\displaystyle f^{″}(x)<0}$. 而 ${\displaystyle f{\displaystyle \left(\frac{\pi }{2}\right)>0>f(\pi )}}$, 故此时 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 的变号零点存在且唯一;
   • 当${\displaystyle {\displaystyle x\in (\pi ,\frac{3\pi }{2})}}$, 显然${\displaystyle f^{‴}(x)>0}$, 故${\displaystyle f^{″}(x)}$至多有一零点，${\displaystyle f^{\prime }(x)}$至多有一极值点. 而${\displaystyle f^{″}(\pi )<0}$, 故若${\displaystyle f^{\prime }(x)}$极值点存在, 只能是极小值点. 再由${\displaystyle f^{\prime }(\pi )<0}$知，${\displaystyle f^{\prime }(x)}$至多有一个零点. 最后由${\displaystyle f^{\prime }{\displaystyle \left(\frac{3\pi }{2}\right)>0}}$, 可知此时确实存在零点，故恰有一个.

   综上，${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (-1,2\pi )}$ 内有2个极值点.

2. 解 注意到 ${\displaystyle f(0)=0}$, 而 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (-1,+\mathrm{\infty })}$ 上可导，因此 ${\displaystyle 0}$ 是它的极大值点，从而 $$f^{\prime }(0)={\displaystyle {\cos x+\frac{1}{1+x}-a|}_{x=0}=0\Rightarrow a=2.}$$
   下面验证${\displaystyle a=2}$的充分性. 当${\displaystyle x\ge 0}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \cos x+\frac{1}{1+x}-2\le 1+1-2=0}}$, 故${\displaystyle f(x)\le f(0)=0}$; 当${\displaystyle x\in (-1,0)}$, ${\displaystyle f^{″}(x)={\displaystyle -\sin x-\frac{1}{(1+x{)}^2}<1-1=0\Rightarrow f^{\prime }(x)>f^{\prime }(0)=0\Rightarrow f(x)<f(0)=0}}$. 从而充分性得证.
   综上，${\displaystyle a=2}$.

3. 证明 利用 2 的结论，以及 ${\displaystyle {\displaystyle \ln x\ge 1-\frac{1}{x},x\ge 0}}$, 有 $$\begin{array}{rl}\text{左边}\le & \sum _{i=n+1}^{2n}[\frac{2}{i-1}-\ln (1+\frac{1}{i-1})]=2\sum _{i=n+1}^{2n}(1-\frac{i-2}{i-1})-\ln 2\\ <& 2\ln \prod _{i=n+1}^{2n}\frac{i-1}{i-2}-\ln 2=2\ln \frac{2n-1}{n-1}-\ln 2=\text{右边}.\end{array}$$