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以半径为 ${\displaystyle 1}$ 的球的球心 ${\displaystyle O}$ 为原点建立空间直角坐标系，与球 ${\displaystyle O}$ 相切的平面 ${\displaystyle \alpha }$ 分别与 ${\displaystyle x,y,z}$ 轴交于 ${\displaystyle A,B,C}$ 三点，${\displaystyle |OC|=\sqrt{2}}$, 求 ${\displaystyle |OA{|}^2+4|OB{|}^2}$ 的最小值.

对空间直角坐标系中的一点 ${\displaystyle (x_0,y_0,z_0)}$ 和一平面 ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$, 同样有点到平面距离公式$$\begin{array}{r}d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\end{array}$$
因此对本题，由于 ${\displaystyle \alpha }$ 不过原点 ${\displaystyle O}$, 可以不妨设 ${\displaystyle D=1}$. 进而由 ${\displaystyle |OC|=\sqrt{2}}$, 可得 ${\displaystyle |C|={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}$. 再由相切条件，利用点到平面距离公式，得 $$\begin{array}{r}\sqrt{A^2+B^2+\frac{1}{2}}=1\Rightarrow A^2+B^2=\frac{1}{2}.\end{array}$$
从而$$\begin{array}{r}O{A}^2+4O{B}^2=\frac{1}{A^2}+\frac{4}{B^2}\ge \frac{(1+2{)}^2}{A^2+B^2}=18.\end{array}$$