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已知 ${\displaystyle A,B,C}$ 为单位圆上的三个动点，求 ${\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}$ 的最小值.

如图，取 ${\displaystyle C}$ 在直线 ${\displaystyle AB}$ 上的投影 ${\displaystyle D}$,则原式 ${\displaystyle ={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}$. 首先固定 ${\displaystyle A,B}$. 要使原式最小，${\displaystyle \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}}$ 反向，且 ${\displaystyle CD}$ 与圆相切. 设 ${\displaystyle AD=x}$,则 ${\displaystyle AB=2(1-x)}$.从而$$\begin{array}{r}\text{原式}=4(1-x{)}^2-2x(1-x)=-(1-x)(6x-4)\ge -\frac{1}{6}{\left(\frac{6-6x+6x-4}{2}\right)}^2=-\frac{1}{6}.\end{array}$$