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正三棱锥 ${\displaystyle P-ABC}$ 和正三棱锥 ${\displaystyle Q-ABC}$ 共底面 ${\displaystyle ABC}$, 这两个正三棱锥的所有顶点都在同一球面上，点 ${\displaystyle P}$ 和点 ${\displaystyle Q}$ 在平面 ${\displaystyle ABC}$ 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面 ${\displaystyle ABC}$ 所成的角分别为 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, 则当 ${\displaystyle \alpha +\beta }$ 最大时，求 ${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )}$.

不妨设球的半径为 ${\displaystyle 1}$. 如图，取 ${\displaystyle AC}$ 中点 ${\displaystyle D}$, 和 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 外心 ${\displaystyle O^{\prime }}$, 设 ${\displaystyle O{O}^{\prime }=t\in [0,1]}$, 则 ${\displaystyle O^{\prime }C=2O^{\prime }D=\sqrt{1-t^2}}$. 从而 ${\displaystyle \tan \alpha ={\displaystyle \frac{2(1+t)}{\sqrt{1-t^2}},\tan \beta =\frac{2(1-t)}{\sqrt{1-t^2}}}}$, 从而$$\begin{array}{r}\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=-\frac{4}{3\sqrt{1-t^2}}\le -\frac{4}{3}.\end{array}$$
取等时 ${\displaystyle t=0}$, 而 ${\displaystyle y=\tan x}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (\frac{\pi }{2},\pi )}}$ 上增，故 ${\displaystyle \alpha +\beta }$ 也取得了最大. 综上，答案是 ${\displaystyle {\displaystyle -\frac{4}{3}}}$.