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一盒子中共有 ${\displaystyle 5}$ 个大小质地完全相同的小球, 其中 ${\displaystyle 3}$ 个红球, ${\displaystyle 2}$ 个黑球. 从盒子中一次随机取出两个球, 如果取出的球是黑球, 则将它放回盒子中; 如果取出的球是红球, 则不放回盒子中, 另补相同数量的黑球放入袋中. 重复进行上述操作 ${\displaystyle n}$ 次后, 盒子中黑球的个数记为 ${\displaystyle X_n}$.

1. 求恰好 ${\displaystyle 2}$ 次操作后, 袋中小球的颜色全部相同的概率;
2. 求随机变量 ${\displaystyle X_2}$ 的分布列;
3. 证明: ${\displaystyle \mathbb{E}(X_n)<5}$.

首先求出 ${\displaystyle X_1}$ 的分布: $$\mathbb{P}(X_1=2)=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10},\mathbb{P}(X_1=3)=\frac{C_3^1{C}_2^1}{C_5^2}=\frac{3}{5},\mathbb{P}(X_1=4)=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}.$$

1. 解 "颜色全部相同"只能是全为黑球. 容易知道条件概率 $$\mathbb{P}(X_2=j|X_1=i)=\frac{C_{5-i}^{j-i}{C}_i^{2-(j-i)}}{C_5^2},i\le j\le min(i+2,5).$$ (也即先从 ${\displaystyle 5-i}$ 个红球中取 ${\displaystyle j-i}$ 个, 然后从 ${\displaystyle i}$ 个黑球中取剩下的 ${\displaystyle 2-(j-i)}$ 个.) 所以根据全概率公式 $$\mathbb{P}(X_2=5)=\sum _{i=3,4}\mathbb{P}(X_1=i)\mathbb{P}(X_2=5|X_1=i)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{10}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{5}=\frac{9}{50}.$$

2. 解 ${\displaystyle X_2}$ 可取 ${\displaystyle 2,3,4,5}$. 接着 1, 有 $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X_2=2)& =\mathbb{P}(X_1=2)\mathbb{P}(X_2=2|X_1=2)=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100},\\ \mathbb{P}(X_2=3)& =\sum _{i=2,3}\mathbb{P}(X_1=i)\mathbb{P}(X_2=3|X_1=i)=\frac{1}{10}\cdot \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{10}=\frac{6}{25},\\ \mathbb{P}(X_2=4)& =1-\sum _{i=2,3,5}\mathbb{P}(X_2=i)=\frac{57}{100}.\end{array}$$ 所以 ${\displaystyle X_2}$ 的分布列为

   ${\displaystyle X_2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$
   ${\displaystyle \mathbb{P}}$	${\displaystyle \frac{1}{100}}$	${\displaystyle \frac{6}{25}}$	${\displaystyle \frac{57}{100}}$	${\displaystyle \frac{9}{50}}$

3. 证明 这是显然的. 一方面 ${\displaystyle X_n\le 5}$ 推出 ${\displaystyle \mathbb{E}(X_n)\le 5}$. 另一方面如果存在 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle \mathbb{E}(X_n)=5}$, 则 ${\displaystyle \mathbb{P}(X_n=5)=1}$. 但是我们总可以脸黑到一直取黑球, 也即 $$\mathbb{P}(X_n=2)\ge {\left(\frac{1}{10}\right)}^n>0,$$ 所以 ${\displaystyle \mathbb{P}(X_n=5)\le 1-\mathbb{P}(X_n=2)<1}$, 矛盾! 所以 ${\displaystyle \mathbb{E}(X_n)<5}$.