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已知椭圆 ${\displaystyle C:\frac{x^2}{2}+y^2=1}$ 的右焦点为 ${\displaystyle F}$. 过右准线上一点 ${\displaystyle A}$ 作椭圆的两条切线, 切点分别为 ${\displaystyle B,C}$, 连接点 ${\displaystyle A}$ 与椭圆的中心 ${\displaystyle O}$ 交线段 ${\displaystyle BC}$ 于 ${\displaystyle P}$, 则 ${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }APF}$ 的最小值为_____.

设 ${\displaystyle A(2,t)}$ (不妨设 ${\displaystyle t>0}$^[1]), 则 ${\displaystyle l_{BC}:x+yt=1}$, 它恒过 ${\displaystyle (1,0)}$, 也就是 ${\displaystyle F}$. 这样 ${\displaystyle \mathrm{\angle }APF}$ 其实就是直线 ${\displaystyle OA}$ (斜率 ${\displaystyle \frac{t}{2}}$) 和直线 ${\displaystyle BC}$ (斜率 ${\displaystyle -\frac{1}{t}}$) 的夹角. 根据到角公式 $$\tan \mathrm{\angle }APF=\frac{\frac{t}{2}+\frac{1}{t}}{1-\frac{t}{2}\cdot \frac{1}{t}}=t+\frac{2}{t}\ge 2\sqrt{2}.$$