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已知 ${\displaystyle a>0}$, 函数 ${\displaystyle f(x)=ax\sin x+\cos ax-1,{\displaystyle 0<x<\frac{\pi }{4}}}$.

1. 若 ${\displaystyle a=2}$, 证明: ${\displaystyle f(x)>0}$;
2. 若 ${\displaystyle f(x)>0}$, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
3. 设集合 ${\displaystyle P={\displaystyle \left\{A_n|A_n=\sum _{k=1}^n\cos \frac{\pi }{2k(k+1)},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}}}$, 对于正整数 ${\displaystyle m}$, 集合 ${\displaystyle Q_m=\{x|m<x<2m\}}$, 记 ${\displaystyle P\cap Q_m}$ 中元素的个数为 ${\displaystyle b_m}$，求数列 ${\displaystyle \{b_m\}}$ 的通项公式.

1. 证明 ^[1]当 ${\displaystyle a=2}$, 有 $$\begin{array}{r}f(x)=2x\sin x-2{\sin }^{2}x=2\sin x(x-\sin x)>0.\end{array}$$

2. 解

   • 当 ${\displaystyle 0<a\le 2}$, 则 $$\begin{array}{r}f(x)=ax\sin x-2{\sin }^2\frac{ax}{2}\ge ax\sin x-2\sin \frac{ax}{2}\cdot \frac{ax}{2}=ax(\sin x-\sin \frac{ax}{2})\ge 0.\end{array}$$
     (这里第一个放缩由${\displaystyle 0<{\displaystyle \frac{ax}{2}\le x<\frac{\pi }{2}}}$保证)
   • 当 ${\displaystyle a>2}$, ${\displaystyle f(x)<a{x}^2+\cos ax-1=g(x)}$, 则 ${\displaystyle g^{\prime }(x)=a(2x-\sin ax),g^{″}(x)=a(2-a\cos ax),g^{″}(0)=a(2-a)<0}$, 这说明 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 在某个 ${\displaystyle (0,\delta )}$ 上单减，进而 ${\displaystyle f(\delta )<g(\delta )<g(0)=0}$, 矛盾.

   综上，${\displaystyle 0<a\le 2}$.

3. 解 一方面 ${\displaystyle a_n<n}$. 另一方面对 ${\displaystyle {\displaystyle \cos \frac{\pi }{2k(k+1)}=\cos \frac{2}{k(k+1)}\cdot \frac{\pi }{4}}}$ 应用 2 的不等式，有$$\begin{array}{rl}{a}_n=& \frac{\sqrt{2}}{2}+\sum _{k=2}^n\cos \frac{\pi }{2k(k+1)}>\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sum _{k=2}^n\frac{\pi }{2k(k+1)}\\ & =n-1+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2(n+1)})>n-1,n\ge 2,\end{array}$$
   而容易验证${\displaystyle 0<a_1<1}$, 因此${\displaystyle \mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:n-1<a_n<n}$, 从而${\displaystyle P\cap Q_m=\{a_{m+1},\cdots ,a_{2m}\}}$, ${\displaystyle b_m=m}$.